Question

在直角梯形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90度,AB=BC,点E为腰AB的中点,且∠ECD=45°,连接AC与DE交于点F，若

AF=3，则FC的长为

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Answer 1

解：

延长DE交CB延长线于N；在BN上截取BM=BE，连接EM。

∵AB=AC，∠ABC=90°

∴∠ACB=45°=∠ECD

∴∠ABC-∠ACE=∠ECD-∠ACE

即∠MCE=∠ACD

∵BM=BE，∠EBM=90°

∴∠EMC=45°

∵AD//BC

∴∠DAC=∠ACB=45°

∴∠EMC=∠DAC

∴△EMC∽△DAC（AA）

∴EM/AD=MC/AC

∵E是AB的中点，AB=BC

设AE=BE=BM=a，则AB=BC=2a，EM=√2a，AC=2√2a，MC=BM+BC=3a

√2a/AD=3a/2√2a

AD=4/3a

∵AE=BE，∠DAE=∠NBE=90°，∠AED=∠BEN

∴△AED≌△BEN（ASA）

∴BN=AD=4/3a

∵∠DAF=∠NCF=45°,∠AFD=∠CFN 

∴△ADF∽△CNF(AA)

∴AD/CN=AF/CF

(4/3a)/(4/3a+2a)=3/CF

2/5=3/CF

CF=7.5