Question

如何求函数的值域

求值域的题目总不太会做，谁能给点做这类题的方法。越详细越好，有例题解析更好

Answer 1

函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；二次函数 的定义域为R，当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1 x 1) ②③④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ，当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①； 解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当 时，其最小值 ；②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根）∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法例4．求函数 的值域解：设则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

Answer 2

求函数值域（最值）的常用方法：

1. 直接观察法 

　　适用类型：根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数。

1. 配方法 

   　　适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。 

   　　配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如y=ax^2+bx+c或F(x)=a[f(x)]^2+bf(x)+c类的函数的值域问题，均可用配方法求解.。

2. 判别式法

   　　适用类型：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为

   A(y)x^2+B(y)x+C(y)=0的形式，再利用判别式加以判断。

3. 反函数法 

   　　适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

4. 函数有界性法
   

   　　直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 

   　　适用类型：一般用于三角函数型。

5. 函数单调性法 

   　　适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）

6. 换元法 

   　　通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 

   　　适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。

7. 数形结合法 

   　　其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

   　　适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型。

8. 不等式法 

   　　适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：均值不等式、柯西不等式等） 

   　　其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

9. 导数法 

   　　设函数f(x)在[a,b]上连续，在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上的最大值和最小值为f(x)在[a,b]内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值与最小值。 

   　　要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。

10. 多种方法综合运用
    

　　总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

Answer 3

函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的的值域却令大多数同学头疼，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。常用的求函数值域的方法有：配方法、换元法、图像法、利用函数的单调性法等，方法众多。有的同学学会了各种方法，却不清楚每种方法适合什么样的函数，所以在解题时各种方法乱套，或者方法一种一种的去尝试。导致这种情况的根源是没有把握好函数的特点，只是注重了方法。现在高中阶段所接触的函数主要是基本初等函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，再其他一些就是由基本初等函数构成的复合函数。为了避免学生在学习函数的值域过程中出现上述问题，我认为教师在讲授函数的值域时应抓住基本初等函数的特点，重点讲解好如何利用基本初等函数的定义域及性质来求解函数的值域。这样学生就通过函数的形式、类别来寻求解决值域问题的方法，符合形象思维的范畴。正如前苏联伟大教育家苏霍姆林斯基所说的“直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一定情绪色彩。” 形象思维是思维的主要形式之一，主要是指人们获得表象，根据表象创造的思维活动，没有形象思维就没有创新。现列出我讲解《函数的值域》时重点部分的教学实录，供大家批评指正。 师：题组1：已知函数，当①②③时，求函数的值域。 （学生思考解答） 生：①，②，③， 师：你是怎样得到答案的？（步步紧逼，让学生将自己的思维过程在课堂上展示出来，让所有同学加以辨析和借鉴） 生1：将和代入，将和代入，……就得到了答案。 师：生1的答案正确吗？解法好吗？（鼓励其他同学对已有的方法进行质疑，提高学生的辨析能力以及对真理的向往心理） 生2：答案正确，但解法不好，他的答案是蒙对的。如果的图像不是单纯上升，那么生1的做法可能就会出错。我认为根据的图像来解决问题更好一些。 师：如何利用图像？（迫使学生发表自己的看法） 生2：画出的图像，观察当、和时，寻找满足题意的点的纵坐标的范围，于是得到值域。 师：好一个“满足题意的点的纵坐标的范围”，（适时地给学生以鼓励，让学生有一股成就感，这样会更好的调动他们思考的积极性）这就是的值域在坐标系中的体现。利用函数的几何图像来研究、解决代数问题，非常形象而且直观，我们称这种思想方法为…… 生（齐）：数形结合。 师：试看下一个问题：试求的值域。 生3：把看作一个整体，，， 师：好，在解决下一题组：求下列函数的值域：①；②，（在学生自己逐渐发现的基础上，通过难易适中的题目引导学生逐步深入） 生4：①，②， 师：研究、解决这类问题的关键在于寻找突破口，此类题目的突破口在何处？ 生5：我认为，首先研究根式下面的式子，研究好了它的范围，通过的图像，至于就出来了。突破口就是根式下面的表达式，把这个表达式看成一个整体来研究。（简单的提示后让学生自我归纳针对此类题目的解法，迫使其努力思考） 师：像刚才生5所说的，如果我们再用一个未知量来代替根式下的表达式，那么这种方法可以称之为…… 生（齐）：换元法。 教师用投影仪展示下一题组：求下列函数的值域。（难度再次加深，但是在学生自我研究自我发现的基础上，解决这些问题不再困难） ① ② ③ 补充： 生：①，且在二次根式下，，， ②，所以由不等式的性质得 ③位于二次根式下，，，. 师：哪位同学描述一下具体解决这类问题的思想方法？ 生6：寻找突破点，抓住突破口，重点研究二次根式下的表达式的最值，然后再利用的图像和不等式的性质求解。（让学生再次归纳） 师：再研究一下我们刚才提出来的思想方法具体适合什么样类型的问题？ 生：对于根式类的函数（只含一个根式）求值域的问题，可以采用上述思想方法。 另外对于以及由此推广出来的函数的求值域问题，我们也可以采用同样的方法解决，重点在于寻找突破口。我在上课时采用的题目如下： 题组1：求函数的值域：，①；②且；③且. 题组2：求函数的值域：①；②. 题组3：求函数的值域：①；②. 题组4：求函数的值域：①；②. 通过对上述四个形象类似，但又迥然不同的题组的练习，学生基本上掌握了对于以及由它派生出来的函数的求值域问题的要旨，就是抓图像、找突破口。综合来看，我认为此类函数的值域的求法是本来存在的，我们不应该强迫学生接受它，而让学生主动去接近去探寻它们。在上面那几个题组的练习当中，学生不断的推陈出新，由旧有的方法得到新题目的解法，让学生体验了一下知识、解法产生的过程，对于提高学生学习兴趣是非常有帮助的。前苏联教育学家苏霍姆林斯基说：“教师如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，而只是不动感情的脑力劳动，就会带来疲倦。”由此看出学习兴趣对于一个学生的重要性，我们要不遗余力来提高学生的兴趣。 利用上面的以此类推、层层推进的方法教学，不仅仅教会了学生解决题目，也教会了学生如何来思考一个问题，就是从我们学过的与之交相近的问题出发，逐渐探索，达到自己的目的。“一个人到学校上学，不仅是为了取得一份知识的行囊，而主要是获得聪明，因此我们主要的智慧努力就不应用在记忆上，而应用在思考上去，所以真正的学校应是一个积极思考的王国，必须让学生生活在思考的世界里。”这是苏霍姆林斯基说过的话，是提高学生思维能力的重要途径，也应是我们每一个人民教师所奋斗的目标。