Question

（2012?开平区一模）如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，且交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥BC

（2012?开平区一模）如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，且交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD于点F．（1）求证：①△ADE≌△ADC； ②四边形CDEF是菱形．（2）求证：△ACF∽△ABD；（3）请你以线段AE为直径作圆（只保留作图痕迹，不写作法），若所作的圆交DF于点H，小明认为点H是线段DF的中点．你同意他的观点吗？请说明理由．

Answer 1

证明：
（1）①在△ADE和△ADC中；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵在△ADE和△ADC中

AE＝AC ∠EAD＝∠CAD AD＝AD

，
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
②由△ADE≌△ADC得：
ED=CD，∠EDA=∠CDA，
∵EF∥BC
∴∠CDF=∠EFD，
∴∠EDA=∠EFD，
即：ED=CD=EF，
∴四边形CDEF是菱形；

（2）在△AEF和△ACF中；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠CAF，
∵在△AFE和△AFC中

AE＝AC ∠EAF＝∠CAF AF＝AF

，
∴△AFE≌△AFC（SAS）； 
又∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABD； 
即：△ACF∽△ABD；

（3）同意；
连接EH，
∵AE是圆的直径，∴∠AHE=90°，
即：EH⊥DF，
又∵ED=EF，
∴DH=HF．