Question

在等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=S2b2

在等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=S2b2（1）求数列{an}通项an；（2）记 Tn＝1S1+1S2+1S3+…+1Sn，试比较Tn与59的大小．

Answer 1

（1）等比数列{b_n}的公比为q，结合题意可得

q+3+a2＝12 q＝ 3+a2 q

，解之得，q=3或q=-4（负值舍去），a₂=6
∴{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，可得a_n=3+（n-1）×3=3n．
（2）由（1），得到{a_n}的前n项和为Sn＝

n(3+3n)

2

，
∴

1

Sn

＝

2

n(3+3n)

＝

2

3

(

1

n

?

1

n+1

)
由此可得：Tn＝

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＝

2

3

(1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n

?

1

n+1

)
=

2

3

(1?

1

n+1

)＝

2n

3(n+1)

．
∴Tn?

5

9

＝

2n

3(n+1)

?

5

9

＝

n?5

9(n+1)

令

n?5

9(n+1)

＜0，得n＜5，故 n=1，2，3，4；令

n?5

9(n+1)

=0，得n=5；令

n?5

9(n+1)

＞0，得n＞5
∴当n=1，2，3，4时，Tn＜

5

9

；当n=5时，Tn＝

5

9

；当 n＞5（n∈N₊）时，Tn＞

5

9

．