Question

如图，点I是三角形ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，连接BE,CE 若AB=2CE,AD=6求CD的长 求证：EB=EC=EI

如图，点I是三角形ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交三角形ABC的外接圆圆O于点E，连接BE,CE 若AB=2CE,AD=6求CD的长 求证：EB=EC=EI

Answer 1

①解：

∵∠BAE=∠BCE，∠ABC=∠AEC（同弧所对的圆周角相等）

∴△ABD∽△CED（AA）

∴AD/CD=AB/CE=2/1

∴AD=2CD=6

    CD=3

②证明：

连接IB。

∵三角形内心是角平分线的交点

∴IA平分∠BAC

∴∠BAE=∠CAE

∴EB =EC（等角对等弦）

∵∠CBE=∠CAE

∴∠BAE=∠CBE

∵IB平分∠ABC

∴∠ABI=∠CBI

∵∠EIB=∠BAE+∠ABI

   ∠EBI=∠CBE+∠CBI

∴∠EIB=∠EBI

∴EB=EI

∴EB=EC=EI