Question

高二函数题目

设函数f(x)=-1/3x^3+2ax^2－3a^2x+1（0＜a＜1），g（x）=f（x）的导数。（1）求函数f（x）的极大值。
（2）若x∈【1－a，1+a】时，恒有－a≤g（x）≤a成立，试确定实数a的取值范围。

Answer 1

（1）求导f'(x)=-x^2+4ax－3a^2
△=4a^2
求根 X1=-a X2=-3a
因为（0＜a＜1）
X1>X2
△=4a^2>0
开口向上
函数f（x）的极大值为当X=X2时，所取得的值。
（2）当x=1+a时g（x）=2a-1≤a=====a≤1
当x=1-a时g（x）=-8a+6a-1≥-a=====（7-根号17）/16
≤a≤（7+根号17）/16
因为（7+根号17）/16<1
所以 a的取值范围是（7-根号17）/16
≤a≤（7+根号17）/16