Question

一个大学微积分问题，关于积分和奇偶函数的疑问，请教各位网友指点感谢。看第106题

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Answer 1

设f(t)dt的积分为F(t)，tf(t)dt的积分为G(t)
那么中括号里面ABCD分别为[G(u)-G(0)]、[F(u)-F(a)]、[G(u)-G(a)]、[F(u)-F(0)]
F(t)为奇函数，G(t)为偶函数
那么中括号里的就是[G(u)-G(0)]、[F(u)-F(a)]、[G(u)-G(a)]、F(u)
A：最后的积分相当于[G(u)-G(0)]du的积分，设为H(u)，相当于H(x)-H(a)，H(x)是奇函数，但是不知道H(a)是不是0
B：[F(u)-F(a)]du的积分，就是F(u)du-F(a)du的积分，奇函数减去偶函数奇偶性是不明的
C：[G(u)-G(a)]du的积分，记作H1(u)，相当于H1(x)-H1(0)，H1(x)是奇函数，H(0)=0所以积分结果是奇函数
D：显然不是奇函数吧…………

追问

还是没解释我的疑问啊，你只是用自己的方法解题

追答

我在过程里已经给你解释了啊，C1=0时就是奇函数没错
A里就是因为在你眼中的C1不确定是不是0才不正确的啊，只不过我用的是H(a)这个东西了而已
B也是错的，但不是你提出的“C1”的问题

追问

• 那为什么C选项，就能肯定常数项C=0呢？如果不确定那就不是奇函数的啊，还有H1(x)为什么是奇函数？H(0)=0？？这样怎么确定常数C=0？

追答

因为[G(u)-G(a)]du的积分里，G(u)是偶函数，G(a)是个常数，那么对u积一次分以后两个都是奇函数，两者相减，即H1(u)也是个奇函数，H1(0)=0这个没问题吧。
[G(u)-G(a)]du从0积到x，那么就是H1(x)-H1(0)=H1(x)
上面说过了H1(x)是个奇函数
而且你所指的C就是我的H1(0)

追问

G（u）的原函数是F（x）+C，C=0才是奇函数啊，但是你已经就说它是奇函数了，C也可能不为0啊

 

看104的分析和评注

追答

你指的“G（u）的原函数是F（x）+C”是我的哪一部分？？
可能是没注意到我的所谓的“C”后面还有个du神马的。就算C不是0，Cdu的积分也是个奇函数的

追问

懂了，C中的下限是0，下限积分出来的0就相当于我说的那个常数项为0是吧

追答

原来你说的是从0积到x的部分啊，那就是F（x）-F（0）
这里F（x）是奇函数，则F（0）的确是0