Question

关于高一数学题：已知3f(x)+2f(1/x)=4x,求f(x) 有地方不太懂

看到的答案基本上都是：
3f（x）+2f（1/x）=4x;
令x=1/x代入得：
3f（1/x）+2f（x）=4/x;
这样就得到一个方程组,消去f(1/x)即可,
f(x)=12x/5-8/5x

但不明白为什么要令x=1/x？有的解释了但不详细，还是不明白，谁能给个详细的解释？

Answer 1

令x=1/x 的意思是把表达式3f（x）+2f（1/x）=4x 中的自变量取倒数。记住:x是函数f(x)的自变量，此处不代表具体数。可以把x=1/x 中的=理解为替换为，即把函数f(x)的自变量x替换为1/x，相应地，f(1/x)的自变量就替换为x。
不能把x=1/x 理解为方程。

Answer 2

”令x=1/x“的实质是两步：“令x=1/t”和“变t为x”。

第一步是变量代换，第二步是变换自变量的符号。

追问

还是不太懂，能讲的再详细通俗一点吗？还有这样代换了之后对解题有什么作用？

追答

这种解抽象函数问题的方法叫做倒数法。
其作用就是：已知等式是一个关于f（x）与f（1/x）的等式（也可以说是方程），这样变换之后也得到了一个关于f（x）与f（1/x）的等式（或者说是方程）（只是二者的位置交换），两个未知数（f（x）与f（1/x）），两个方程，就可以解出来了。