Question

正余弦定理

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a b c 成等比数列，则√3sinB+cosB的取值范围_______

要过程 必要时解释一下

Answer 1

解：
由已知，b^2=ac，不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C，所以0<B≤π/2，
由余弦定理： cos B=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(a^2+c^2)/(2ac)-b^2/(2ac)
=(a^2+c^2)/(2ac)-b^2/(2b^2)=(a^2+c^2)/(2ac)-1/2
≥2*[√(a^2+c^2)]/(2ac)-1/2=1/2，
cos B≥1/2，
因为0<B≤π/2，所以0<B≤π/3，所以π/6<B+π/6≤π/2，
所以 1/2<sin(B+π/6)≤1， 1<2*sin(B+π/6)≤2，
√3*sinB+cosB=2*[sin B*cos(π/6)+cos B*sin(π/6)]=2*sin(B+π/6)，取值范围为(1, 2]。

Answer 2