Question

求极限时什么时候可以把x~0代入？

第二行到第三行这一步骤，为什么可以把0直接代入【】里得到2呢？
在求极限的时候什么时候可以把x的趋近值代入？
还有这儿，第二步到第三步，也是把0代入了第一个cos x中得到了e^0=1，是不是当某个部分来自乘法的时候就可以把x的趋近值代入？

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Answer 1

求极限一般是四种套路！
1，直接代入！
比如：x趋向0时，（x+2）/（x-1）的极限，直接代入=-2
2，化简后代入（利用因式分解）（比如你提供的图片的第一道题目的第二个等号）
比如：x趋向2时，（x²-4）/（x-2）的极限！
这时候直接代入就会导致分母没意义！
但是，把分子因式分解后可以化简成（x-2）（x+2）/（x-2）=x+2，这时候再把x趋向2代入，极限=4！
3，利用等阶无穷小量来代换！
比如：x趋向0时，sinx∽x，所以，
x趋向0时，（x+1）sinx/x（x-2）的极限=（x+1）x/x（x-2）=（x+1）/（x-2），代入趋向值，极限=-1/2！
那么你提供的解析里面的第二道就是用了这个手段！
把指数的等阶无穷小量换成了多项式型的函数！
因为，x趋向0时，(e^x-1)∽x！
所以（e^(x²-2+2cosx） -1）∽(x²-2+2cosx）！
这些等阶无穷小的使用，需要记住一些基本的常用的，然后根据题目的需要进行适当的变化！
4，利用洛必达准则（每个等阶无穷小量几乎都可以利用洛必达加以证明验算）
比如你提供的题目的第一张图片，最后那个等号：
x趋向0时，（sinx-x）/（2x²），这是0/0型的极限，就该用洛必达：
x趋向0时，
（sinx-x）/（2x²）的极限=（cosx-1）/（4x）的极限=（-sinx/4）=0
所以，第一题的答案最后结果应该是=-1/2

Answer 2

答：只要你能明显看出极限的发展趋势，你就可以代入这个趋近值0（当然，对于其它的题也可能是3，也能是∞）。也就是说，代入这个趋近数，不影响函数的发展变化。你说的第二行到第三行，就是这种情况。
这类问题，之所以成为问题，就是因为，我们从题面上看是0/0、或者∞／∞、或者1^∞、或者∞^0,等等；就是让我们求出来它是收敛的，还是发散的。从而知道，两个函数之间是同阶无穷小（或无穷大），还是高（低）阶无穷小（大）。
从最后一个等号，可以看出，如果分母是x^3, 就必须有：sinx→[x-(1/3!)x^3] 才不会影响函数极限的答案。所以说，分子只要是省略掉分母的高阶无穷小，不会影响函数的答案，而同阶无穷小，绝对不能忽略。这就是说，当带入趋近值时，不要忽略分子和分母的同阶无穷小就不会出现计算结果的偏差。
因此，对于不影响函数对比的主体函数的系数，如果是收敛的，可以提前代入趋近数值，只要充分考虑到相对同阶无穷小不可忽略的原则就不会出现问题。从而便于主体函数的对比；如果是发散的系数，则绝不能代入趋近值。否则，它会影响函数对比的最终结果。

Answer 3

当x=0代入时，所求函数的极限存在且不是不定型时，可以直接代入。

代入后出现如下形式时，不可代入。

Answer 4

在求极限的时候，
只要某因式不趋于0或无穷大，
就可以代入x的趋近值
当然要注意这个式子是乘法的因式
这就不会影响到极限式子的计算结果

Answer 5

选判定类型，七种未定式，然后根据类型选择方法