Question

已知函数f（x）=ax3-bx2+cx+b-a（a＞0，b，c∈R）（1）设c=0①若a=b，f（x）在x=x0处的切线过点（1，0）

Answer 1

见图片

Answer 2

(1) c=0,f(x)=ax³-bx²+b-a
①f'(x)=3ax²-2bx
切线斜率=f'(x₀)=3ax₀²-2ax₀
切线方程：y=(3ax₀²-2ax₀)(x-1),将切点坐标代入：
ax₀³-ax₀²=(3ax₀²-2ax₀)(x₀-1)
x₀³-x₀²=3x₀³-2x₀²-3x₀²+2x₀
x₀³-2x₀²+x₀=0
x₀(x₀-1)²=0
x₀=0,或x₀=1
②f'(x)=3ax²-2bx
驻点：x(3ax-2b)=0
x₁=0 x₂=2b/3a
f''(x)=6ax-2b
f''(x₁)=-2b
f''(2b/3a)=4b-2b=2b
∴b<0时 x₁是极小值，x₂是极大值
b>0时 x₁是极大值，x₂是极小值
∴b<0时，x₂=2b/3a<0不在区间，最大值=f(1)=a-b+b-a=0
b>0时，极小值x₂在区间
f(0)=b-a<0,f(1)=0,∴最大值=0
x∈[0,1]的最大值=0
(2)f(x)=ax³-bx²+cx+b-a
∵a>0
x∈(-∞,x₁),f(x)为增函数
∴左起第一个驻点是极大值，第二个驻点是极小值
x∈(x₁,x₂)f(x)为减函数 f(x₁)>f(x₂)
如同时成立，则有f(x₁)=x₁>f(x₂)=x₂
即x₁>x₂,与实际x₁<x₂矛盾
∴两者不能同时成立。