Question

《高等数学C》计算第二类曲线积分。

∫L-xcosydx+ysinxdy，其中L为由点A(0，0)到点B(2π,4π)的线段。

Answer 1

对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如:对L'的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;
或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。

Answer 2

L的参数方程为 x=2πt,y=4πt(0<=t<=1),则
∫L-xcosydx+ysinxdy=∫{0，1}[-2πt*cos(4πt)*2π+4πt*sin(2πt)*4π]dt
=[-πt*sin(4πt)-8πt*cos(2πt)-(1/4)*cos(4πt)+4*sin(2πt)]{0,1}
=-8π-(1/4)+(1/4)=-8π