Question

已知BD是等边△ABC的高，E是BC延长线上一点，且CE=CD，DF⊥BC于点F，证明：DF平分∠BDE

Answer 1

证明：∵BD是等边△ABC的高 ∴∠DBF=30°， ∠BDC=90°
又∵DF⊥BC ∴∠BDF=90°-∠DBF=60°，∠DFC=90°
∵∠BDF+∠FDC=∠BDC ∴∠FDC=30°
∴∠DCF=90°-∠FDC=60°
∵CE=CD ∴∠CDE=1/2∠DCF=30°
∴∠FDE=∠FDC+∠CDE=60°
∵∠FDE=∠BDF=60° ∴DF平分∠BDE

Answer 2

只需证明△BDF和△EDF全等即可。
首先，BF=BC-CF=BC-CD/2=BC-AC/4=BC-BC/4=3BC/4,即BF=3BC/4,
而EF=CF+CE=CF+CD=3AC/4=3BC/4,
即BF=EF,
又∠BFD=∠EFD,DF=DF,
所以△BDF和△EDF全等，
从而得∠BDF=∠EDF