Question

在△ABC中，以AC为边在△ABC外部作等腰△ACD，使 AC=AD，且 ∠DAC=2∠ABC，连接BD，作AH⊥BC于点E,若AH

在△ABC中，以AC为边在△ABC外部作等腰△ACD，使AC=AD，且 ∠DAC=2∠ABC，连接BD，作AH⊥BC于点E,若AH=3\2，BC=4，则BD= ______
2015哈尔滨道里中考调研1,20题

Answer 1

如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC，并取BE的中点K，连接AK，
∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°，∵BE∥AH，∴∠EBC=90°，∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH，∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形，又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形，∴∠AKB=90°，∴AK是BE的垂直平分线,∴AB=AE,∠EAB=2∠KAB=2∠ABC =∠DAC, ∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=∠EAD+∠EAB=∠BAD又∵AB=AE，AC=AD∴△EAC≌△BAD，∴BD=EC再由勾股定理，BE=2AH=3，BC=4可求得：BD=EC=5.

Answer 2

，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°，
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠EAC=∠BAD，
∴△EAC≌△BAD，
∴EC=BD，
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°，
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5，
∴BD=5；