Question

已知二次函数y=f(x)满足：1.f(x-4)=f(-x);2.它的顶点在直线y=2x-8上；3.

已知二次函数y=f(x)满足：1.f(x-4)=f(-x);2.它的顶点在直线y=2x-8上；3.其图像过点（2,4）；
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）若数列｛An｝的前n项和Sn=f(n),求次数列{An}的通项公式
过程

Answer 1

解由.f(x-4)=f(-x);

知f(x)的对称轴为x=-2，
又由其顶点在直线y=2x-8，

当x=-2，y=-12
故抛物线顶点为(-2,-12)
设抛物线为y=a(x+2)^2-12
又由图像过点（2,4），

即16a-12=4
解得a=1
故f(x)=(x+2)^2-12
=x^2+4x-8
2由Sn=f(n)

知Sn=n^2+4n-8
当n=1时，a1=S1=1^2+4-8=-3
当n＞1时，
得an=Sn-S(n-1)
=(n^2+4n-8)-[(n-1)^2+4(n-1)-8]
=n^2+4n-8-(n^2-2n+1+4n-4-8)
=2n+3
知 -3 n=1
an={
2n+3 n＞1

Answer 2

1) f(-2+x)=f(x+2-4)=f(-x-2)
因此x=-2为对称轴,顶点x=-2,y=2(-2)-8=-12
因此可设f(x)=a(x+2)^2-12
代入点（2,4）：4=16a-12,得：a=1
因此f(x)=(x+2)^2-12=x^2+4x-8
2)n=1,a1=S1=f(1)=-3
n>1,an=Sn-S(n-1)=n^2+4n-8-[(n-1)^2+4(n-1)-8]=2n+3