Question

已知函数f(X)=-x3+ax2=bx=c在(-,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,f(x)在R上有3个零点。且1是其中一个零点

(1)求b的值；
（2）求f(2)的范围；
(3)试探究y=x-1与f(X)的图像交点个数情况，并说明理由
应该f(x)=-x3+ax2+bx+c

Answer 1

首先说明一下，这题目描述看得偶极其痛苦~

解题思路：（1）由已知得，函数在x=0处取极值，导数f'(0)=0，可得b=0
（2）由题意知，函数的另一个极值点必大于1
（3）将两个函数合并为一个函数讨论之

解：（1）由已知得，函数在x=0处取极值，导数f'(0)=b=0
(2)原函数f(x)=-x^3+ax^2+c
f'(x)=-3x^2+2ax=x(-3x+2a)
f'(x)=0得x1=0, x2=2a/3
由2a/3>1得 a>3/2
（1，0）代入原函数，得-1+a+c=0 得 c=-a+1
f(2)=-8+4a+c=-8+4a-a+1=3a-7
由a>3/2 得 f(2)>-5/2

(3)令x-1=-x^3+ax^2+c
得-x^3+ax^2-x-a+2=0
令g(x)=-x^3+ax^2-x-a+2
则g'(x)=-3x^2+2ax-1
Δ=4a^2-12

讨论:若Δ=0,a=√3
g'(x)<=0,g(x)是减函数
g(0)>0可知g(x)与x轴必有一个交点 从而可知题设两函数有一个交点
若Δ<0, 3/2<a<√3, g'(x)<0 g(x)是减函数
仍然有g(0)>0可知g(x)与x轴必有一个交点 故题设两函数有一个交点
若Δ>0,a>√3,（此处应该画图像，电脑上不好画，略了），g'(x)图像先由x轴下部穿到x轴上部，在下降，故g(x)先减后增再减，而g(1)=0,g(0)=-(a-2),g'(1)=2(a-2),当a>2两函数有三个交点

写了一会儿，打了一个小时，崩溃了~

Answer 2

f(X)=-x3+ax2=bx=c像话么?
写写清楚啊