Question

初中数学几何竞赛

做的好的话绝对加分，谢谢

Answer 1

过p做PG‖EF,交BE于点G,
过Q做QH‖BC,交BE于点H
∵EF是△ABC的中位线
∴ EF‖=1/2BC
∴PG‖EF‖BC‖QH
∴ PR/RQ=PG/QH
QH/BC=QE/CE
∵DQ‖BE
∴QE/CE=DB/BC
PG/EF=PB/BF
∵DP‖CF
∴PB/BF=DB/BC
∴PG/EF=PB/BF=DB/BC=QE/CE=QH/BC
PG/QH=EF/BC=1/2
∴PR/RQ=PG/QH=1/2
即PR/PQ=1/3
同理可证 QS/PQ=1/3
RS/PQ=1-PR/PQ-QS/PQ=1-1/3-1/3=1/3

Answer 2

过p做PG‖EF,交BE于点G,
过Q做QH‖BC,交BE于点H
∵EF是△ABC的中位线
∴ EF‖=1/2BC
∴PG‖EF‖BC‖QH
∴ PR/RQ=PG/QH
QH/BC=QE/CE
∵DQ‖BE
∴QE/CE=DB/BC
PG/EF=PB/BF
∵DP‖CF
∴PB/BF=DB/BC
∴PG/EF=PB/BF=DB/BC=QE/CE=QH/BC
PG/QH=EF/BC=1/2
∴PR/RQ=PG/QH=1/2
即PR/PQ=1/3
同理可证 QS/PQ=1/3
RS/PQ=1-PR/PQ-QS/PQ=1-1/3-1/3=1/3
所以 RS=1/3PQ

Answer 3

设CF交BE于H,BE交PD于J,QD交CF于K,因为H为重心，所以2FH=CH,2HE=HB,又因为CF‖PD,BE‖QD,由比例关系得2PJ=JD,2QK=KD,且PJR∽PDQ,所以PJ/PD=PR/PQ=1/3
QKS∽QDP,所以QK/QD=QS/PQ=1/3,所以QS=PR=1/3PQ,所以RS=1/3PQ