Question

证明u=x^2-y^2和v=y/x^2+y^2都是调和函数,但u+iv不是解析函数

Answer 1

这里的U好证，重要的是V不好证，证如下，
vy=x^2+y^2-y*2y/(x^2+y^2)^2=x^2-y^2/(x^2+y^2)^2,
vyy=-2y(x^2+y^2)-(x^2-y^2)*2(x^2+y^2)*2y/(x^2+y^2)^4=
-6x^2+2y^3/(x^2+y^2)^3,
vx=-2xy/(x^2+y^2)^2,vxx=-2y(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)*2*2x=
6x^2y-2y^3/(x^2+y^2)^3,
所以，vxx+vyy=0.所以调和。再证，不解析就可以了

Answer 2

u'x=1,u''xx=0,u'y=-2,u''yy=0，因此u''xx+u''yy=0，即u满足拉普拉斯方程，因此u是调和函数，同理v'x=1+y,v''xx=0,v'y=x+1,v''yy=0，即v''xx+v''yy=0，v也是调和函数。但是根据柯西黎曼方程，u'x=v'y，u'y=-v'x，有1=x+1，2=1+y，即x=0，y=1，因此f(z)=u+iv只在z=i处可导，在任意点都不解析。

Answer 3

引用brilliantxg的回答：
这里的U好证，重要的是V不好证，证如下，
vy=x^2+y^2-y*2y/(x^2+y^2)^2=x^2-y^2/(x^2+y^2)^2,
vyy=-2y(x^2+y^2)-(x^2-y^2)*2(x^2+y^2)*2y/(x^2+y^2)^4=
-6x^2+2y^3/(x^2+y^2)^3,
vx=-2xy/(x^2+y^2)^2,vxx=-2y(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)*2*2x=
6x^2y-2y^3/(x^2+y^2)^3,
所以，vxx+vyy=0.所以调和。再证，不解析就可以了

vyy=-2y（x^2+y^2）^2-（x^2-y^2）*2*（x^2+y^2）*2y/（x^2+y^2）^4