Question

如图,△ABC的内接三角形,P为BC延长线上的一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G

(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：AG²=AF·AB；
(3)若⊙O的直径为10，AC=2√5，AB=4√5，求△AFG的面积.
主要是第(3)问，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

（1）相切。由圆的性质可得：<AGC=<B；
由题目可得：<PAC=<B；
即<AGC=<PAC；
即AP||CG；
即AP⊥AD，
也就是说直线AP与圆O相切。
（2）证明：先连接BG。
根据垂径定理可得：AC=AG；
其所对的圆周角也相等，即<B=<ABG；
由（1）得<AGC=<ABG；还有<BAG是公共角，说明 △ABG∽△AGF，可得AF/AG=AG/AB，即AG²=AF·AB。
（3）△AFG的面积是3。
解答：AG=AC=2√5；
由AG²=AF·AB可得AF=√5；
连接CD，△ACD是直角三角形且与直角三角形ACE有<CAD是公共角，所以AE=AC²/AD=2；有勾股定理可知：AE²+CE²=AC²、AF²=AE²+EF²，
即CE=4=EG，EF=1，FG=EG-EF=3；
S△AFG=S△AEG-S△AEF=4X2X1/2-2X1X1/2=4-1=3。

Answer 2

角ACG等于角G等于角B等于角PAC，则PA平行于CG，则PA切。连BG，则三角形AFG与三角形AGB相似(共角A，角G等于角ABG)，顾可得。