Question

离散数学。非空集合A上的全关系具有什么性质？

非空集合A上的全关系具有什么性质？
非空集合的全关系指的是什么？
非空集合A上的全关系是不是A*A?

Answer 1

全关系,是指集合中任意元素之间（包括元素与自身），都有此关系成立。

具有性质：自反性、传递性、对称性、完全性

准确的说，是笛卡尔乘积A×A的全集合。

Answer 2

集合表示法：关系是集合，有类似于集合的表示方法.
列举法，如R＝{<1,1>,<1,2>}；描述法：如
关系矩阵： RÍA×B，R的矩阵
关系图： R是集合上的二元关系，若ÎR，由结点aI画有向弧到bj构成的图形.
2. 几个特殊的关系
空关系Æ；唯一是任何关系的子集的关系.
全关系
恒等关系 ，MI是单位矩阵.
3. 关系的运算
h关系的集合运算，有并、交、补、差和对称差.
h复合关系，有
复合关系矩阵： (布尔运算)，有结合律：(R·S)·T＝R·(S·T)
h逆关系 ， ，(R·S)－1=S－1·R－1.
4. 关系的性质
h自反性；矩阵 的主对角线元素全为1；关系图的每个结点都有自回路.
h反自反性 ；矩阵 的主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路.
h对称性若 ，则 ；矩阵 是对称矩阵，即 ；关系图中有向弧成对出现,方向相反.
h反对称性若 且 ，则x=y或若 ，则 ；矩阵 不出现对称元素.
h传递性若 且 ，则 ；在关系图中，有从a到b的弧，有从b到c的弧，则有从a到c的弧. 判断传递性较为困难.
可以证明：R是集合A上的二元关系，
(1)R是自反的ÛIAÍ;R; (2)R是反自反的ÛIAÇR＝Æ;
(3)R是对称的 ÛR=R-1; (4)R是反对称的ÛRÇR－1ÍIA；
(5)R是传递的ÛR·RÍR.
设A，B为任意集合，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果B A，则称该n元运算时封闭的。
一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1，f2，…，fk所组成的系统，称为一个代数系统，记作：<A, f1，f2，…，fk>。
设A为任意非空集合，*是集合A上的二元运算。
（1）封闭性：对任意a，b∈A，若有a*b∈A，则称运算*关于集合是封闭的。
（2）结合律：对任意a，b，c∈A，若有a*（b*c）=（a*b）*c，则称运算*在集合A是可结合的，或称运算*在A上满足结合律。
（3）交换律：对任意a，b∈A，若有a*b=b*a，称为运算*在A上市可交换的，或称*运算在A上满足交换律。
（4）幂等率：若对 a∈A，有a*a=a，则称运算*在A上市幂等的，或称运算×在A上满足幂等率。
（5）分配律：若对 a，b，c∈A有 ： a (b*c)=(a b)*(a c) 和（b*c） a=（b a）*（c a）成立，则称运算 对*时可分配的，或称运算*满足分配律。
（6）吸收率：若 和*满足交换律而且有： a，b∈A，并有a (b*c)=a和a* (b c)=a，则称 和*运算时可吸收的，或称 和*运算满足吸收率。
定义4.1.4 设*为集合A上的二元运算，若存在 （或 ），使得对于 x∈A，都有 （或 ），则称 （或 ）是A中关于*运算的左（或右）幺元（或单位元）。如果A中一个元素e，它既是左幺元，又是右幺元，则成e是A中关于运算* 的遥远。
显然对于任一x∈A，e*x=x*e=x。
定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算，如果有一个元素 ，对于任意元素 都有 ，则称 为A中关于运算*的左零元；如果有一个元素 ，对于任意元素 都有 ，则称 为A中关于运算*的右零元。如果A中的一个元素 ，他既是左零元，又是右零元，则称 为A上关于运算*的零元。
设*是集合A上的二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元 和右幺元 ，则 ，且A中幺元是惟一的。
设*是定义在集合A上的二元关系，在A中有关于运算*的左零元 和右零元 那么 ，且A中零元是惟一的。
定理4.1.3 设有代数系统<A，*>中，A的元素个数多于1，若其存在关于运算*的单位元e与零元O，则 。
定义4.1.6 设代数系统<A，*>中，e是关于*的单位元，若对A中某个元素a，存在A的一个元素b，使得b*a=e，则称b为a 的一个左逆元；若a*b=e，则称b为a的一个右逆元。若一个元素b，既是a 的左逆元，又是a的右逆元，则称b是a的一个逆元，记作 。
设代数系统<A，*>，这里*是定义在A上的二元运算，A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元，如果*是可结合运算，那么这个代数系统中，任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是惟一的。
如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。
同类型的代数系统仅仅是构成成分相同，不一定具有相同运算性质。
定义4.1.8 设 是代数系统， ，且B对 都是封闭的，B和S还含有相同的代数常数，则称 是V的子代数系统，简称子代数。
定义4.2.1 设*是集合S上的二元运算，若运算*时封闭的，并且*是可结合的，则称代数系统<S，*》为半群。这个定义包括两点，及对于任意 ，
（1） ，
（2）(a*b)*c=a*(b*c)
设<S，*>是一个半群， ，且*在B上封闭，那么<B，*>也是一个半群，通常称<B，*>是半群<S，*>的子半群。
若半群<S，*>中存在一个幺元则称<S，*>为独异点（或含幺半群）。
设<S，*>是独异点，对于 ，且a， b均有逆元，则：
（1） ，（2）若a*b有逆元，则 。
设<G，*>是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
（1）如果*是封闭的；
（2）运算*时可结合的；
（3）存在幺元e；
（4）对于每一个元素 ，存在它的逆元 ；则称<G，*>是一个群。
设<G，*>是一个群，如果G是有限群，那么称<G，*>为有限群，G中元素的个数统称称为该有限群的阶数，记为 。
若群G中，只含有一个元素，即G=|e|，|G|=1，则称G为平凡群。