Question

已知函数fx=x2+ax+b,若存在非零实数t,使得f(t)+f(1/t)=-2，则a2+4b2

最小值为

Answer 1

f(t)+f(1/t)=-2, 得：
t²+at+b+1/t²+a/t+b=-2
(t²+1/t²)+a(t+1/t)+2b+2=0
令u=t+1/t, 则u²=t²+1/t²-2
代入上式得：u²+2+au+2b+2=0
即u²+au+2b+4=0 1）
2b=-(au+u²+4)
a²+4b²=a²+(au+u²+4)²=(1+u²)a²+2au(u²+4)+(u²+4)²
当a=-u(u²+4)/(1+u²)时，上式取最小值为：
(u²+4)²-u²(u²+4)²/(1+u²)=(u²+4)²/(1+u²) 2)
记v=u²+1>=5, 上式=(v+3)²/v=v+9/v+6
当v>=5时，v+9/v+6单调增，最小值当v=5时取得，为5+9/5+6=64/5
因在线a²+4b²的最小值为64/5