Question

设函数f和g都在x=a处取极大值，则fg也在x=a处取极大值吗

Answer 1

这可不一定的。
例如f(x)=-x^2+1，在x=0处取得极大值f(0)=1
g(x)=-x^2+2,在x=0处取得极大值g(0)=2.
f(g(x))=-[-x^2+2]^2+1=-(x^2-2)^2+1
求导得f'(g(x))=-2(x^2-2)(x^2-2)'=-4x(x+√2)(x-√2)
当x属于(-√2,0)时，f'(x)＜0
x属于(0，√2)时，f'(x)＞0
故x=0时，f(g(x))在x=0处取得极小值.

Answer 2

不一定。
例如f(x)=-x^2+1，在x=0处取得极大值f(0)=1
g(x)=-x^2+2,在x=0处取得极大值g(0)=2.
f(g(x))=-[-x^2+2]^2+1=-(x^2-2)^2+1
求导得f'(g(x))=-2(x^2-2)(x^2-2)'=-4x(x+√2)(x-√2)
当x属于(-√2,0)时，f'(x)＜0
x属于(0，√2)时，f'(x)＞0
故x=0时，f(g(x))在x=0处取得极小值。

函数在某个极小区间内，存在自变量取值x，且存在比其大与比其小的自变量，这些自变量所对应的函数值均小于x对应的函数值。那么此函数值称为极大值。