Question

群表示论 抽象代数 请问如何证明若有限Abel群G有一个忠实的一次复表示，则G是循环群？ 非常感谢

群表示论 抽象代数 请问如何证明若有限Abel群G有一个忠实的一次复表示，则G是循环群？
非常感谢！
对于这道题，我的想法是，假设G不是循环群，那么G的初等因子可以设为（p1^j1,...，pn^jn)(n>1)，设G的一次复表示为
f:G—>C*
a1^s1...an^sn)—>e1^(s1t1)...en^(sntn)
其中ei是pi^ji次本原单位根
要使得f是忠实的，ti肯定不能全为0，现在就是要证明，在这种情况下，必存在s1,...,sn不全为0,，使得e1^(s1t1)...en^(sntn)=1（这样就说明了f不是忠实的，从而推出矛盾)。

Answer 1

似乎看懂了，不过怎么证呢？

我有一个想法如下。现在f从G映到C^*，其实像集一定在S^1（单位复数集）里，因为C^*作为乘法群，有限阶的元素是S^1里面的一（小）部分。
那么现在看f的像。它是S^1中的有限群，可以试图证明它是循环群。这样f就给出了G到循环群f(G)的一个满同态（因为f(G)是像集，所以是满射）。现在由于表示是忠实的所以是单的。这样G同构与循环群f(G)。

我想其实我们可以证明稍微多一点点的结论：假如有限Abel群G的型是（p_1^s_1，p_2^s_2，……，p_n^s_n）的话，那么它的复的忠实表示至少是n维的。