Question

若一个函数在某个区间内可导,则导函数在这个区间连续对吗

可导那limf'+(x)=limf'-(x)=f'(x) 那么limf'(x)=f'(x)这样不就是连续吗

Answer 1

可导一定连续,连续不一定可导
证明：可导一定连续
设y=f(x)在x0处可导,f'(x0)=A
由可导的充分必要条件有
f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）
当x→x0时,f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）
再由定理：当x→x0时,f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得,limf(x)=f(x0)

追问

不懂 我觉得如果一个函数在某一点连续可导，那它的导函数在这一点不应该也是连续的吗？那导函数再这个区间每个点都连续那不就在这个区间连续了吗？求证明或者反例证明连续函数的导函数不连续

追答

刚看错了，我以为你问可导一定连续。。。。
函数可导可知函数是连续的，但是并不能知道导函数是连续的。
比如：
f(x)=x^2*sin(1/x)，并添加定义x=0时f(x)=0，这个函数就在定义域内连续且可导，但是导函数在0点不连续

Answer 2

区间是开还是闭?
可导必连续
所以闭区间不可能又间断点
开区间则可能在边界是间断点
但这样边界并不在定义域内
所以也是连续的

追问

我是想说导函数是不是连续的 球证明

Answer 3

由导函数的介值定理（达布定理），和介值定理的结合，可以得到:导函数在原函数的可导区间内连续。

Answer 4

引用余清染的回答：
可导一定连续,连续不一定可导
证明：可导一定连续
设y=f(x)在x0处可导,f'(x0)=A
由可导的充分必要条件有
f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）
当x→x0时,f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）
再由定理：当x→x0时,f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得,limf(x)=f(x0)

对于这个函数，其导函数为-cos(1/x)，本身在x=0时不存在，即f(x)在x=0时不可导，我认为这个反例有误

Answer 5

引用余清染的回答：
可导一定连续,连续不一定可导
证明：可导一定连续
设y=f(x)在x0处可导,f'(x0)=A
由可导的充分必要条件有
f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）
当x→x0时,f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）
再由定理：当x→x0时,f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得,limf(x)=f(x0)

sin(1/x)在0处不可导。