Question

求助两道数学微积分的题，大神来帮忙解决一下！

Answer 1

(1)令u=1+lnx
则du=1/x·dx
原式=∫1/u·du
=ln|u|+C
=ln|1+lnx|+C

追答

(2)三角换元，令x=sint
则dx=costdt
原式=∫cos²t/sin²t·dt
=∫(csc²t-1)dt
=-cott-t+C
=-√(1-x²)/x-arcsinx+C

追问

第一个是1／dx和dx一样的做法吗？

cos²t/sin²t怎么变到csc²t-1的

追答

第一个肯定是你题目抄错了，不定积分哪有那样的

追问

那第二个呢，能详细点吗

追答

第二题
cos²t/sin²t
=cot²t
=csc²t-1

追问

-cott=-√（1-x²）/x怎么算的

追答

sint=x
cost=√(1-x²)

追问

谢谢

Answer 2

∫dx/[x(1+lnx)]

let
y= lnx
dy = (1/x)dx

∫dx/[x(1+lnx)]
=∫dy/(1+y)
=ln|1+y| + C
=ln|1+lnx| + C

(2)
∫[√(1-x^2) /x^2 ]dx
let
x=sinu
dx=cosudu

∫[√(1-x^2) /x^2 ]dx
=∫ (tanu)^2 du
=∫ [(secu)^2-1] du
=tanu - u + C
=x/√(1-x^2) - arcsinx + C

追问

第一个是1／dx和dx一样的做法吗？

追答

没有这个 ∫1/dx
只有∫dx

追问

第二题那不应该是（1/tan）²

追答

(2)
∫[√(1-x^2) /x^2 ]dx
let
x=sinu
dx=cosudu

∫[√(1-x^2) /x^2 ]dx
=∫ (cotu)^2 du
=∫ [(cscu)^2-1] du
=-cotu - u + C
=-√(1-x^2)/x - arcsinx + C