Question

高数，例题5，怎么根据题目告诉的特解确定齐次方程的两个解和原方程的一个特解的？

Answer 1

　　这个就是因为它的特解形式是和特征根有关的，既然特解形式里面e的次幂一个是2x一个是x，那么1和2就一定是齐次方程的特征根。下面是一些有关的求解形式，不懂可追问
　　二阶常系数齐次微分方程标准形式
　　y″+py′+qy=0
　　特征方程
　　r^2+pr+q=0
　　通解
　　1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
　　2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
　　3.共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
　　对二阶常系数线性非齐次微分方程形式，ay''+by'+cy=p(x)e^αx的特解y*具有形式

　　y*=x^k*Q(x)e^αx
　　其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.

追问

那这道题呢，划线的那个怎么来的

追答

这个就是对已知中的f(x)+f`(x+pi)=sinx求导，得到的是f`(x)+f``(x+pi)=cosx.然后令x=x+pi带入进去有f`(x+pi)+f``(x+2pi)=cos(x+pi)。因为f(x)周期是2pi，所以f`(x)和f``(x)周期也是2pi.因此f``(x+2pi)=f(x)。再考虑到cos(x+pi)=-cosx，所以得到f`(x+pi)+f``(x)=-cosx

追问

可以带进去了再求导吗？

后面那一步的那个特解是怎么得来的啊

追答

怎么能带进去再求导，只能在原式里面求导再带
哪个后一步特解？

追问

就是得到的f(x)那个方程的特解啊，你看那个图片嘛，为什么不能带进去再求导呀？

追答

对二阶常系数线性非齐次微分方程形式，ay''+by'+cy=p(x)e^αx的特解y*具有形式
y*=x^k*Q(x)e^αx
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.
这个题目里面r=1是特征方程的一重根，所以k=1，然后Q(x)和给的方程里面的非齐次项的多项式次幂相同。给的方程是ce^x，多项式是0次的，也就是常数，所以Q(x)可以取1，所以特解是xe^x

正常来讲不能带进去再求导，因为牵扯到带进去的那个对x的导数问题，比如令x=2x+pi就不行了，就多了一个2，但是针对这个题目你可以带进去再求导。我建议你先求导再带入，以后做其他的题目也是按照这个顺序不会出错

追问

我就是问后面那部分是怎么来的？

追答

额，你问的这个题啊，我醉了…方程组上下一减法得到f"(x)-f(x)=-cosx-sinx齐次的特征很是0,1不是复数，所以等号后面那个给的就不是特征方程特征很(只有特征很是复数的时候齐次方程通解才会用三角函数表示)，所以k=0，也就是三角函数前面的多项式为常数，可以取1，然后设特解形式是y*=asinx+bcosx,求二次导数就是y*"=-asinx-bcosx。把这两个带入到微分方程中，整理，能得到-2b=1，-2a=1，解得就好了。

追问

前面你不是说k=1吗？

追答

额，那是我以为你问的例5那个题

追问

我写的那个是例题7里面的啊

追答

嗯，对啊，所以我的这个回答是给你例7解答的啊
方程组上下一减法得到f"(x)-f(x)=-cosx-sinx齐次的特征很是0,1不是复数，所以等号后面那个给的就不是特征方程特征很(只有特征很是复数的时候齐次方程通解才会用三角函数表示)，所以k=0，也就是三角函数前面的多项式为常数，可以取1，然后设特解形式是y*=asinx+bcosx,求二次导数就是y*"=-asinx-bcosx。把这两个带入到微分方程中，整理，能得到-2b=-1，-2a=-1，解得a=1/2；b=1/2；所以特解是y*=1/2sinx+1/2cosx

追问

所以用的是倒数第二个形式吗

追答

你答对了

追问

我还想继续问你题怎么办

追答

加我QQ吧。。。。你刚上大一啊。。。。姚山狗耳巴宁耳戚漏狗

追问

狗是几啊

追答

9

Answer 2

是根据其次方程的通解形式确定两个解的，y=c1e^入1t+c2e^入2t

追问

那我划横线的那一个式子是怎么来的啊