Question

数学高手请进！！！一道初三的几何题。

已知三角形ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D、E是AB边上的两个动点，且∠DCE=45º。求证：AD²+BE²=DE²。
做出来的网友非常感谢哈！！！

Answer 1

△BEC绕C点顺时针旋转90°BC与AC重合 E’点是E点的像 连接E'D ∠E'AD=90° E'D²=E'A²+AD²=AD²+BE² 证△E'CD与△DCE全等。（边角边）E'D=DE DE²=E'D²=E'A²+AD²=AD²+BE²

Answer 2

如图

Answer 3

将△ADC绕逆时针旋转90°，设D点旋转后对应于D'，那么△CD'B就是△ADC旋转而成，有D'B=AD，∠CBD'=∠A，∴∠D'BE=∠A+∠CBA=90°

∵∠ECD'=90°-∠DCE=45°=∠DCE，CE=CE,CD=CD'，∴△CDE≌CD'E
∴DE=D'E，在Rt△D'EB中，据勾股定理得D'E²=BE²+D'E²
即AD²+BE²=DE²

本题思路：要证明的等式形如勾股定理，然而三条线段被分散，所以想到将其集中与一个直角三角形，而题目做多了就知道，在等腰三角形中可以利用旋转来移动线段。

Answer 4

因为∠ACB=90º ∠DCE=45º
所以∠ACD+∠BCE=45º
又AC=BC
则将图形沿CD CE 折 则有AC与CB重合 A点与B点重合于F 根据对称性 有∠DFE=90º
所以DF^2=DE^2+EF^2
又AD=DF BE=EF
所以AD^2=BE^2+ED^2