数学题求解 ！谢谢！在线等
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为便于叙述,记f(n)=n^3-n
显然f(1)=0是6的倍数
设n=k时(k∈N*),
f(n)=f(k)=k^3-k是6的倍数
则n=k+1时,
f(n)=(k+1)^3-(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=(k^3-k)+3k(k+1)
依归纳假设,上式中k^3-k是6的倍数
而k与k+1必有一个数是2的倍数,所以3k(k+1)也是6的倍数
所以f(k+1)是6的倍数
故对于任意n∈N*,f(n)都是6的倍数
显然f(1)=0是6的倍数
设n=k时(k∈N*),
f(n)=f(k)=k^3-k是6的倍数
则n=k+1时,
f(n)=(k+1)^3-(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=(k^3-k)+3k(k+1)
依归纳假设,上式中k^3-k是6的倍数
而k与k+1必有一个数是2的倍数,所以3k(k+1)也是6的倍数
所以f(k+1)是6的倍数
故对于任意n∈N*,f(n)都是6的倍数
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