Question

已知函数f(x)＝x^3－3x^2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围

已知函数f(x)＝x^3－3x^2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围
A．(－24,8) B．(－24,1] C．[1,8] D．[1,8)

Answer 1

答案　D

解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.

当x∈[－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(3,5]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8.

而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点，故m<8,m≥1即m∈[1,8)．

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