Question

关于确界问题！

1、

图中划红线的不等式是怎么推算的 为什么两个inf相加会小于右边那个？

2、对任意常数c, inf{f(x)+c} = inf{f(x)}+c 怎么证明？
谢谢！

Answer 1

（1）不等式①已经证明了：
inf{f(x)}+inf{g(x)}≤ inf {f(x)+g(x)}
这一结论与f(x)和g(x)选择什么函数无关，
所以，代入f(x)+g(x)和-g(x)
inf{f(x)+g(x)}+inf{-g(x)}≤ inf {f(x)+g(x)-g(x)}
（2）inf{f(x)}≤f(x)
∴ inf{f(x)}+c≤f(x)+c
∴ inf{f(x)}+c≤inf{f(x)+c}
另一方面，根据题解中不等式①
inf{f(x)+c}+(-c)≤inf{f(x)+c+(-c)}=inf{f(x)}
∴ inf{f(x)+c}≤inf{f(x)}+c
∴ inf{f(x)+c}=inf{f(x)}+c