Question

已知函数f(x)=x^2㏑x-a(x^2-1)，a∈R①当x大于等于1时，f(x)大于等于0恒成立

已知函数f(x)=x^2㏑x-a(x^2-1)，a∈R①当x大于等于1时，f(x)大于等于0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

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追问

那个最小值是不是求错了？为什么那么求？x=1分母没意义啊

追答

x不会等于1，只是无限接近时，极限值是1/2，只要a＜1/2能满足恒成立的条件。

x→1即x无限接近1。

Answer 2

(1) 当a=-1时，f(x)=x^2*lnx+x^2-1, f(1)=0, f'(x)=x+2xlnx+2x=3x+2xlnx,
f'(1)=3, 曲线f(x)在点(1，f(1))处切线方程是 y=3(x-1).

(2)解：x^2lnx-a(x^2-1)≥0 且 x≥1
当x=1时 a∈R;
当x>1时
===>a≤(x^2lnx)/(x^2-1)
问题转换为求函数g(x)=(x^2lnx)/(x^2-1)的最小值；
g'(x)=(x^3-x-2xlnx)/(x^2-1)^2
令h(x)=x^3-x-2xlnx
===>h'(x)=3x^2-2lnx-3
===>h''(x)=6x-2/x
因为x>1所以h''(x)>0
===>h'(x)为增函数
===>h'(x)>h'(1)=0
===>h(x)为增函数
===>h(x)>h(1)=0
===>g'(x)>0即g(x)为增函数
===>g(x)>lim<x→1+>g(x)=1/2【用洛必达法则】
===>a≤1/2
综上所述：a∈(-∞,1/2]