Question

若函数列{fn}的平方依测度收敛于f的平方，那么是否一定有|fn|依测度收敛于|f|呢?

其中f与fn（n=1,2,…）都是可测集E上几乎处处有限的可测函数

Answer 1

有的时候∈表示子集了哈，这里应该不会有歧义。m表示测度。

不妨设f_n,f>=0且处处有限（可以先把f_n和f无限的那个零测度集去掉）。
对任意正数a,b，
{x: | |f_n(x)|-|f(x)| |>a}
={x: |f_n(x)-f(x)|>a}
={x: |f_n^2(x)-f^2(x)|>a|f_n(x)+f(x)|} （相等是因为两个集合里的x都满足f_n(x)+f(x)≠0）
∈{x: |f_n^2(x)-f^2(x)|>a^2}
（因为只要x属于前面的集合，就有a<|f_n(x)-f(x)|<=|f_n(x)|+|f(x)|=|f_n(x)+f(x)|，所以|f_n^2(x)-f^2(x)|>a^2。中间用了三角不等式）
因为f_n^2依测度收敛域f^2，所以存在N使得当n>N时，m{x: |f_n^2(x)-f^2(x)|>a^2}<b
所以当n>N时，m{x: |f_n(x)-f(x)|>a}<=m{x: |f_n^2(x)-f^2(x)|>a^2}<b
所以|f_n|依测度收敛于|f|

追问

呜呜感觉就差那么一点被你点拨了，蟹蟹你同学，可以拜你为师吗！