Question

用第一换元积分法求下列不定积分。第3小题

Answer 1

(1)
∫(sin ax - e^x/b)dx＝∫sin axdx - ∫e^(x/b)dx

对∫sin axdx，因为dx＝1/a×d(ax)，所以，∫sin axdx＝1/2∫sin ax d(ax)。
令t＝ax，则∫sin axdx ＝1/a∫sin ax d(ax)＝1/a∫sint dt＝－1/a×cost+C＝－1/a×cos(ax)+C。

对∫e^(x/b)dx，因为dx＝b×d(x/b)，所以，∫e^(x/b)dx＝b∫e^(x/b)d(x/b)。
令u＝x/b，则∫e^(x/b)dx＝b∫e^(x/b)d(x/b)＝b∫e^u du＝b×e^u+C＝b×e^(x/b)+C。

所以，∫(sin ax - e^x/b)dx＝∫sin axdx - ∫e^(x/b)dx＝－1/a×cos(ax)+b×e^(x/b)+C

(2)∫(sin√t)/√t dt＝2∫sin√t d(√t)。令x＝√t，则∫(sin√t)/√t dt＝2∫sinx dx＝－2cosx+C＝－2cos(√t)+C