Question

一道数学竞赛问题

D、E、F分别在正三角形ABC的边BC、CA、AB上，记△EAF、△FBD、△DCE和
△DEF的周长分别为 a、b 、c 和d ，求证:
1/a+1/b+1/c≥3/d

本题属代数与几何综合题（可能用到重要不等式即均值不等式，或排序不等式）。请帮忙解答一下，谢谢！

Answer 1

设正三角形的边长为e

由均值不等式1/a+1/b+1/c≥9/(a+b+c)=9/(d+3e)

只需证：9/(d+3e)≥3/d,即d≥3e/2

如图作法BP=BD，CQ=CD，FP=FD，EQ=ED，则d=FP+EF+EQ≥PQ

需要求在边长为2a的正三角形A1B1C1中，A1P+A1Q=3a，PQ的最小值

余弦定理

PQ*PQ=A1P*A1P+A1Q*A1Q-2*A1P*A1Q*cos60

=A1P*A1P+A1Q*A1Q-A1P*A1Q

≥(3a/2)*(3a/2)+(3a/2)*(3a/2)-(3a/2)*(3a/2)

=(3a/2)*(3a/2)

即PQ≥3a/2

证毕

唉，没分就给个最佳吧

Answer 2

厄……没积分的说……
这么难的题目……一点动力也没有