Question

高一数学 对数函数

已知f（x）=x²+（lg a +2）x+lgb, f(-1)=-2,当x属于R时，f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值。

Answer 1

将x=-1代入，得-2=1-（lg a +2）+lg b
化简得1=lg a-lg b 则，lg a/b =1,所以a=0
所以f(x)=x²+3x+lg b=(x+1.5)²-9/4+lg b
因为当x属于R时，f(x))≥2x恒成立,所以，lg b-9/4=2
解得，lg b=17/4
所以f(x)=x²+3x+17/4
此时最小值为2。

Answer 2

f(-1)=1-lga-2+lgb=-2

得出lga=1+lgb

f(x)=x²+(lga+2)x+lgb≥2x 即x²+(lga)x+lgb≥0
∴△=（lga)²-4lgb≤0
(1+lgb)²-4lgb≤0
(lgb)²-2lgb+1≤0
(lgb-1)²≤0

∴lgb-1=0
lgb=1
lga=lgb+1=2
a=100

∴f(x)=x²+4x+1
=(x+2)²-3
∴f(-2)min=-3

Answer 3

首先代入f（-1）=1-lg a -2+lgb=lgb-lg a-1=-2
即lgb-lg a=-1

当x属于R时，f(x)≥2x恒成立
f（x）=x²+（lg a +2）x+lgb≥2x

即x²+lg a x+lgb ≥0

把它看成二次函数，那么Δ≤0
即Δ=（lga）²-4lgb≤0
已求出lgb-lg a=-1
代入上述不等式中，
可以解出lga=2 所以a为100
那么lgb=1

再将这两值代入f（x）=x²+（lg a +2）x+lgb
即f（x）=x²＋4x＋1=（x-2）²－3
当x为2时，f（x）有最小值-3

所以实数a为100，f（x）有最小值-3

Answer 4

F（x）=f（x）-2x=x²+lga x+lgb≥0恒成立，则
Δ=（lga）²-4lgb≤0
f(-1)=-2,则 lgb-lga=-1,带入上式得
（lga）²-4lga+4≤0
于是lga=2,a=100,lgb=1,b=10
f（x）=x²＋4x＋1=（x-2）²－3≥-3
最小值为-3