Question

高中 三角函数问题

在三角形ABC中a，b，c分别为A、B、C所对的边，角C小于90度大于60度，且b／（a－b）＝sin2C/(sinA－sin2C)
1.判断三角形的形状。
2·若|向量BA+向量BC|=2，求向量AB向量BC的取值范围

Answer 1

解：(1)由题意知：sinA≠0，2C≠B(否则B+C>π，自己试证一下).
因为sin2C/(sinA－sin2C)=b／（a－b）=sinB/(sinA-sinB)
所以sin2C*(sinA-sinB)=sinB*(sinA－sin2C)，整理并化简得：
sin2C=sinB，则有2C+B=π.而A+C+B=π，所以A=C，a=c.
因此△ABC是等腰三角形.
(2)由(1)中的a=c及平行四边形法则(自己画出图来)可知：sinA=1/c.
所以AB*向量BC
=|向量AB|*|向量BC|*cos(π-B)
=-c*a*cosB
=-c^2*cos(π-2C)
=(1/sinA)^2*cos2C
=cos2C/(sinA)^2
=cos2C/(sinC)^2
=cos2C/[(1-cos2C)/2]
=2cos2C/(1-cos2C)
=(2cos2C-2+2)/(1-cos2C)
=(2cos2C-2)/(1-cos2C)+2/(1-cos2C)
=-2+2/(1-cos2C)
因为π/3<C<π/2，所以2π/3<2C<π，则-1<cos2C<-1/2.
接下来有3/2<1-cos2C<2和1<2/(1-cos2C)<4/3.
所以向量AB*向量BC的取值范围是(-1，-2/3).

Answer 2

b/(a-b)=sin2C/(sinA-sin2C)
sinB/(sinA-sinB)=sin2C/(sinA-sin2C)
sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
sinBsinA=sinAsin2C
sinB=sin2C
B+2C=180
C=180-B-C=A
等腰三角形
向量BA+向量BC|=2
由图可知 csinA=1 c=1/sinA
向量AB向量BC=ca cos(180-B)=-c^2cos(180-2A)=c^2cos2A=cos2A/(sinA^2)=cotA^2-1
角A小于90度大于60度
求向量AB向量BC的取值范围 (-1,-2/3)

Answer 3

用余弦定理：cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
把b^2=ac带入得cosB=（a^2+4a^2-ac）/2ac
整理：cosB=（5a^2-ac）/2ac
把c=2a带入得cosB=（5a^2-2a^2）/4a^2=3/4
2sinAcosB=sinC等价于
2sinAcosB=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
得0=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)
A-B=0
A=B
三角形ABC是等腰三角形

Answer 4

1.因为在（0,兀）上正弦均为正，所以角A的余弦也为正。又sin
A=2cos
A,再根据(sin
A)^2+(cos
A)^2
=1
就可以解得cosA=根号5/5,sinA=2根号5/5
2.因为tan(a-b)=(tan
a-tan
b)/(1+tan
a
*
tan
b)=1/2
把题目的已知数据代进入，可以解得tan
a=1/3