Question

在线求学霸教题！大一高数，可降阶的高阶微分方程。y''加上y'的平方等于二乘以e的负y次幂。求方程

在线求学霸教题！大一高数，可降阶的高阶微分方程。y''加上y'的平方等于二乘以e的负y次幂。求方程的通解！

Answer 1

y''+y'²=2e^(-y)
设p=y'
p dp/dy+p²=2e^(-y)
p²=C1 e^(-2y)+4e^(-y)
y'=±√[C1 e^(-2y)+4e^(-y)]
√(C1+4e^y)=±2x+C2
e^y=x²+C3 x+C4

追问

√是什么意思啊

p方等于什么什么，这步是怎么得到的啊。😓

追答

根号。p²是关于p²的一阶微分方程解出来的

根号。p²是关于p²的一阶微分方程解出来的

追问

就是那步不懂。

怎么一下子就得出p方等于什么了😓。上面没办法分离p和y啊

追答

其实很简单。 p dp/dy+p²=2e^(-y). 设u=p², 1/2 du/dy+u=2e^(-y). du/dy+2u=4e^(-y). 齐次通解为 u1=C1 e^(-2y). 设特解为 u2=k e^(-y). -k+2k=4 => k=4. ∴ u=p²=C1 e^(-2y)+4e^(-y)

追问

😱我怎么没有想到

谢谢了。😄

🌹🌹✌

Answer 2

这是超越方程一般无解析解。

追问

但是这是作业本上的题目，有参考答案