Question

X1+X2+λX3=-2 X1+λX2+X3=-2 λX1+X2+X3=λ-3 求λ为何值时线性方程组的唯一解 无解 无穷解

Answer 1

解1: 系数矩阵的行列式=
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ
= (λ+2)(λ-1)^2.

当λ≠1 且λ≠-2 时, 由Crammer法则知有唯一解.

当λ=1时, 增广矩阵为
1 1 1 -2
1 1 1 -2
1 1 1 -2
->
1 1 1 -2
0 0 0 0
0 0 0 0
此时方程组有无穷多解.
通解为: (-2,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'

当λ=-2时, 增广矩阵为
-2 1 1 -5
1 -2 1 -2
1 1 -2 -2

r3+r1+r2
-2 1 1 1
1 -2 1 -2
0 0 0 -9
此时方程组无解.

解2: 增广矩阵 =
λ 1 1 λ-3
1 λ 1 -2
1 1 λ -2

r1<->r3
1 1 λ -2
1 λ 1 -2
λ 1 1 λ-3

r2-r1, r3-λr1
1 1 λ -2
0 λ-1 1-λ 0
0 1-λ 1-λ^2 3λ-3

r3+r2
1 1 λ -2
0 λ-1 1-λ 0
0 0 2-λ-λ^2 3λ-3
=
1 1 λ -2
0 λ-1 1-λ 0
0 0 (1-λ)(2+λ) 3(λ-1)

当λ≠1且λ≠-2时, r(A)=r(A,b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-2时, r(A)=2,r(A,b)=3, 方程组无解.
当λ=1时, r(A)=r(A,b)=1<3, 方程组有无穷多解.
通解为: (-2,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'