Question

数学题目，急呀！~ 帮帮忙

已知圆x^2+y^2=1,定点A（1，0），B,C是圆上两动点，保持A,B,C在圆上逆时针排列，且角BOC=60°（0为坐标原点），求三角形重心G的轨迹方程

Answer 1

方法：参数方程法

设B(cos a,sin a)
则C(cos(a+π/3),sin(a+π/3))
重心坐标G（x,y）

3x=cos a +cos(a+π/3)+1 ---1
3y=sin a +sin(a+π/3) ---2

对1变形
(3x-1)^2=cos^2 a +2cos a *cos(a+π/3) +cos^2(a+π/3) ---3
对2变形
9y^2=sin^2 a +2sin a *sin(a+π/3)+sin^2(a+π/3) ---4
3+4得：
(3x-1)^2+9y^2=2+2[cos a *cos(a+π/3) +sin a *sin(a+π/3)]
下面用积化和差公式变形
=2+2{1/2[cos(2a+π/3)+cosπ/3]-1/2[cos(2a+π/3)-cosπ/3]}
=3
因为B、C不能与A重合
所以轨迹不过点(1/2,(√3)/6),(1/2,-(√3)/6)
考虑到A,B,C在圆上逆时针排列
所以x<1/2

所以：重心坐标G的轨迹方程为(3x-1)^2+9y^2=3 (x<1/2)

Answer 2

所以
∠AHE＝∠BAD＋∠ABE
＝∠BAC/2＋∠ABC/2
＝(∠BAC＋∠ABC)/2
＝(180°－∠BCA)/2
＝90°－∠BCA/2
＝90°－∠ACF
＝90°－∠GCH
因为HE⊥AC
所以∠CHG＝90°－∠GCH