Question

如图，数轴上A，B两点对应有理数分别为10和15，点p从点A出发，以每秒1个单位长度沿正方向运动

点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位，设运动时间为t秒

Answer 1

分析：（1）分别表示出OP，OQ的长度，再分OP与OA，OP与OB是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式进行计算即可得解；（2）过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、G，然后平行线分线段成比例定理列式求出MN、MG的长度，从而得到点M的坐标，然后在Rt△MQN中与Rt△PQO中，利用同一个角∠MQN与∠PQO的正切值相等列出方程求解得到t的值，然后求出点P的坐标，再利用待定系数法求直线函数解析式解答；（3）表示出OP、BQ的长度，然后根据实际意义求出两圆外切与内切时t的值，再写出两圆外离、相交、内含时的t的取值范围即可．解答：解：（1）根据题意，t秒时，AP=2t，BQ=t，OP=|6-2t|，OQ=8+t．分两种情况：①若△POQ∽△AOB，则当OP与OA是对应边时，OPOA=OQOB，即|6-2t|6=8+t8，所以，8（6-2t）=6（8+t）或8（2t-6）=6（8+t），整理得，解得t=0（舍去），t=485；②若△POQ∽△BOA，则当OP与OB是对应边时，OPOB=OQOA，即|6-2t|8=8+t6，所以，6（6-2t）=8（8+t）或6（2t-6）=8（8+t），整理得，t=-75（舍去），t=25，所以，当t=485或25时，△POQ∽△AOB；（2）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、G．∵PO∥MN，∴MNOA=MBBA，∵MBMA=15，∴MBBA=16，∴MNOA=16，∵OA=6，∴MN=1，同理MG=56OB，∵OB=8，∴MG=203，∴点M的坐标为（203，1），∵OQ=8+t，∴NQ=8+t-203=43+t，在Rt△MNQ中，tan∠MQN=MNNQ=143+t，在Rt△OPQ中，tan∠PQO=OPOQ=6-2t8+t，∴143+t=6-2t8+t，整理得，6t2-7t=0，解得t=76，t=0（舍去），OP=6-2×76=113，∴点P的坐标为P（0，113）．设PQ直线解析式为y=kx+b，则b=113203k+b=1，解得k=-25b=113，∴PQ直线解析式：y=-25x+113；（3）|6-2t|+t=8时，6-2t+t=8或2t-6+t=8，解得t=-2（舍去），t=143，|6-2t|-t=8时，6-2t-t=8或2t-6-t=8，解得t=-23（舍去），t=14，又当t=3时，OP=0，⊙O不存在，所以，①当0＜t＜143且t≠3时，两圆外离；②当t=143时，两圆外切；③当143＜t＜14时，两圆相交；④当t=14时，两圆内切；⑤当t＞14时，两圆内含．（每个结果（1分），共5分）点评：本题是对一次函数的综合考查，主要利用了相似三角形对应边成比例，平行线分线段成比例定理，以及圆的位置关系，（3）中要注意先求出外切与内切时的两个临界值．