Question

高等数学，偏导数，15题

Answer 1

解：
分析，根据链式法则直接求即可！

∂z/∂x
=f'·(e^x)·siny
∂²z/∂x²
=f''·(e^2x)·(siny)²+f'·(e^x)·siny
∂z/∂y
=f'·cosy·(e^x)
∂²z/∂y²
=f''·(cosy)²·(e^2x)-f'·(e^x)·siny
∂²z/∂x²+∂²z/∂y²
=f''·(e^2x)·(siny)²+f'·(e^x)·siny+f''·(cosy)²·(e^2x)-f'·(e^x)·siny
=f''·(e^2x)
=(e^2x)·z
因此：
f''=f''[(e^x)·siny] = z = f[(e^x)·siny]
令：t=(e^x)·siny，则：
f''(t) = f(t)
解上述微分方程，得：
f(t)=C1[e^(t)]+C2[e^(-t)]，其中C1和C2为常数
所以：
f(u) =C1[e^(u)]+C2[e^(-u)]