Question

导数应用题：求此函数的所有渐近线 请给出详细过程 谢谢！

Answer 1

渐近线：
一种是垂直渐近线：
这种渐近线的形式为x=a，也就是函数在x=a处的值为无穷大。本题x=-3
另一种是斜渐近线：
这种渐近线的形式为y=kx+b，反映函数在无穷远点的性态(k=0时，为水平渐近线y=b）
先求k，k=lim(x→∞)f(x)/x
再求b，b=lim(x→∞)f(x)-kx
本题：k=lim(x→∞)f(x)/x=lim(x→∞)[(x-4)²/x(x+3)²]=0
b=lim(x→∞)f(x)-kx=lim(x→∞)[(x-4)²/(x+3)²]=1
∴渐近线为x=-3和y=1

追问

请问什么样的图形会分别有一条垂直渐近线和一条水平渐近线或斜渐近线？

此函数有垂直渐近线的原因是因为从解析式上可以直接看出x不能等于-3吗？

追答

(1)最简单的例子就是分段函数
(2)是的，x→-3时，分母→0 f(x)→+∞

追问

是不是有反比例函数又有水平渐近线又有斜渐近线？

比如

这里的水平渐近线求法是直接求fx在x趋向于零的极限吗？求法和斜渐近线求法不一样

追答

y=3x/(x+1)不存在斜渐近线

一般非分段函数，有斜渐近线（k≠0），就无水平渐近线（k=0），反之亦然。除非分段函数

→±∞时，k=lim(x→∞)f(x)/x 分别趋于不同的值，一个为0 一个非0，此时，又有水平渐近线又有斜渐近线。

追问

您说的“除非分段函数”意思是当分段函数趋近于正负无穷时...是吗？是说非分段函数不可能有这种情况吗？

水平渐近线又该如何求呢？它没办法像垂直渐近线一样求出来

打错了 看出来

在吗

追答

水平渐近线和斜渐近线一样求，x→∞时，如lim(x→∞)f(x)/x极限存在，就有渐近线，极限=0，就是水平渐近线，≠0，就是斜渐近线。
所以求水平渐近线，就是求极限。

追问

谢谢