Question

多元函数极值问题

函数u=x平方+y平方+z平方，约束条件是z=x平方+y平方，x+y+z=4，求最大值最小值，书上的解释是，从目标函数和两个约束条件能看出x和y出现在对称的位置，这样就能判断驻点出现在x=y上，这是什么意思啊？我想了半天也想不出来

Answer 1

很简单,x,y的地位是对称的,考虑交线
z=x^2+y^2,x+y+z=4
在与x=y的交点处的切线l,去证明l和平面x=y正交(提示:利用交点处的光滑性以及曲线关于x=y对称),而x=y过原点,这样l的方向向量和交点对应的位置向量正交,故交点是u的驻点[注意到u'=2(xx'+yy'+zz'),(x,y,z)恰是位置矢量,(x',y',z')恰是交线的一个切向量,其中已经设交线的参数方程为(x(t),y(t),z(t))]

[注] 用对称性只能证明交线和x=y的交点是驻点,但是不能仅用对称性证明所有驻点在x=y上,反例很好举,比如就把第一个约束条件改成x^2+y^2+z^2=1,那么容易看出交线上的点都是驻点.

Answer 2

我是个高一的，不知道什么驻点。
u=z+z^2
且z=x^2+y^2,代入
x+y+z=4
得
x+y=4-(x^2+y^2)
平方
(x+y)^2=(x^2+y^2-4)^2
由不等式
x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2成立
代入即
(x^2+y^2-4)^2≤2(x^2+y^2),用z即为
(z-4)^2≤2z
解得z∈[2,8]
于是u=(z+0.5)^2-0.25
其最大值为72
最小值为6

Answer 3

即使x，y对称，也没有证据表明驻点一定要在中间，即x=y上
还是应该用传统的拉格朗日乘数法来算
f（x，y,z,u,v）=x^2+y^2+z^2+u(x^2+y^2-z^2)+v(x+y+z-4)
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希望能帮助到你