Question

高一数学一道难题

已知函数f（x）=In（1+x）-x
数列｛an｝满足：a1=1/2
In2+Ina(n+1)=a(n+1)*an+f(a(n+1)*an)
(n+1)是下标相当与an的n
（1）求证IN(X+1)≤x（2）求数列｛an｝的通项公式
（3）求证：a1+a2+a3+……+an<n+In2-In(n+2)
我知道答案很难打但是会的话还是告诉我吧.谢了
（1）求证IN(X+1)≤x
（2）求数列｛an｝的通项公式
（3）求证：a1+a2+a3+……+an<n+In2-In(n+2)

Answer 1

（一）证明：f(x)=㏑(1+x)-x.(x＞-1).求导得：f′(x)=-x/(1+x).易知，f′(0)=0.f(x)max=f(0)=0.故x>-1时，f(x)≤f(x)max=0.===>㏑(1+x)-x≤0.===>㏑(1+x)≤x.其中，x＞-1,等号仅当x=0时取得。（二）㏑2+㏑a(n+1)=a(n+1)an+f[a(n+1)an]=㏑[1+a(n+1)an].==>2a(n+1)=1+a(n+1)an.===>an=n/(n+1).(n=1,2,3,...).(三）证明：由尤拉公式知，∑ai=a1+a2+a3+...+an=(1/2)+(2/3)+(3/4)+...+n/(n+1)=[1-(1/2)]+[1-(1/3)]+[1-(1/4)]+...+[1-1/(n+1)]=n-[1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)]=(n+1)-[1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)]=(n+1)-[㏑(1+n)+k],(k为尤拉常数，k≈0.5772).即∑ai=(n+1)-㏑(1+n)-k.作差=[n+㏑2-㏑(n+2)]-∑ai=[n+㏑2-㏑（n+2)]-[(n+1)-㏑(1+n)-k]=㏑[(2n+2)/(n+2)]+k-1.因(2n+2)/(n+2)≥5/3.(n=1,2,3...)===>差≥㏑（5/3)+k-1≈0.5108256+0.577-1=0.08＞0.故a1+a2+a3+...+an＜n+㏑2-㏑(n+2).

Answer 2

IN(X+1)≤x（2）？

Answer 3

GH