Question

在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,

在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且SINC=2SINACOSB,则三角形ABC是

Answer 1

三角形ABC是等边三角形（或正三角形）。
由正弦弦定理可知，a/SinA=b/SinB=c/SinC,
由余弦定理可知，CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,
将SinC=2SinACosB，变形为SinC/2SinA=CosB,结合上述两式就可得
SinC/2SinA=c/2a=CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，
可得a=b，
最后将a=b代入式(a+b+c)(a+b-c)=3ab
得出结论a=b=c，该三角形是等边三角形。

Answer 2

(a+b+c)(a+b-c)=3ab
a²+ab-ac+ab+b²-bc+ac+cb-c²=3ab
a²+b²-c²+2ab-bc+cb=3ab
a²+b²-c²-ab+bc-cb=0
2(a²+b²-c²-ab+bc-cb)=0
(a-b)²+（a-c）²+（b-c）²=0
∵a b c是△ABC的三边，所以为正整数
∴a-b=0 a=b a-c=0 a=c b-c=0 b=c
所以三角形ABC是等边三角形

Answer 3

(a+b)^2-c^2=3ab
a^2+b^2-c^2=ab
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab =ab/2ab=1/2
C=60°
sinC=sin[π-（A+B）]
=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=2sinAcosB
cosAsinB=sinAcosB
ctgA=ctgB
A=B

A+B+C=180
2A+60=180
A=B=C=60°

ABC为等边三角形