Question

高等数学，谁能告诉我这个用微分方程法找函数的原理？

Answer 1

关于这个问题我也在探索中，有了些思路也还有些疑问，分享给大家一起探讨：
首先，造辅助函数我理解为逆向思维过程，对所求式G(x,f(x),f'(x))=0求解微分方程，得解H(x,f(x))=C,于是有：
1.解H=C满足G=0,即H=C（所有的C值）能使G=0，从而证明H=C即可，
2.H=C等价于H'=0，所以H必满足罗尔定理条件，并且每个H'=0对应的x值都能满足G=0,从而转换为证明至少存在一个x使H'=0
以上是构造过程，证明过程应逆向思考：
讨论辅助函数H,H满足罗尔定理，则至少有一点满足H'=0，得证。

对于取H为辅助函数我是这么考虑的：
1.根据上述讨论，构造思路是令结论成立，解微分方程，证明思路是证明解成立，从而微分方程成立，取H为辅助函数后即将证明过程转为证H=C,进一步应用罗尔定理证明H'=0，这是可行的。
2.以此题为例，若求解微分方程得M(f(x))=C*N(x)，取M(f(x))为辅助函数，则证明过程就为证M(f(x))=C*N(x)成立，而证明该等式还是转化为M(f(x))/N(x)=H=C来证。

Answer 2

楼主考研的吧，我也是(9月份才开始准备，感觉炸了)，刚看到这，我把我的理解说一下吧，令g'(x)恒等于0←→f(x)/(1+x)=C，而g'(x)恒等于0←→g(x)=C,结合这两个则g(x)=f(x)/(1+x)

Answer 3

分离变量，两边积分，可得

Answer 4

微分方程这一章复习一下吧

追问

复习过了

我知道这个方法，但我问的是为什么总是能通过这个方法找出那个函数

追答

没明白你什么意思啊，既然是求这个函数的方法，那还求不出这个函数么？

追问

对啊，能求出啊，但为什么要这么求啊

都说的很清楚了我想问的是原理不是求解的方法

追答

分离变量之后，p(x)dx=q(y)dy 这不是x和y的关系式，然后两边不定积分，不就光剩下x,y了么，然后不就是要求的方程了么，如果再想深点我也不清楚了

Answer 5

刚才我也一直在想为什么解出来的微分方程将常数分离出来左边的函数就是目标函数的原函数，我认为是不是因为解微分方程的本质其实就是在积分，我们想知道什么样的g(x)可以满足g'(x)=f'(x)*(1+x)-f(x),也就是想知道f'(x)*(1+x)-f(x)的原函数，所以我们要对f'(x)*(1+x)-f(x)这个函数积分，但是其实解这个微分方程其实就是对这个函数的积分，只不过是进行了一些恒等的变换，比如这个题可以通过分离变量的方式进行积分，我们分离完变量后等式两边同时积分等式依然成立，假如积分之后等式满足p(x)=h(x)这样的形式，那么显然求导之后也依然可以化成f'(x)*(1+x)-f(x)=0,所以如果我们将p(x)=h(x)这个等式的右边化为常数C，左边记为g(x)，那么等式两边求导之后等式依然成立，即g(x)=f'(x)*(1+x)-f(x),所以发现求解微分方程和求解原函数本质上其实就是将等式恒等变形了，即解出来的微分方程形式是y=f(x),积分出来的形式是g(x)=c,但不论是y=f(x)还是g(x)=c求导之后都是f'(x)*(1+x)-f(x)=0这个等式，所以y=f(x)和g(x)=c就是经过了一些恒等变换的结果，所以依此类推我通过解一个一阶线性微分方程看似是直接带公式，但其实本质是对f'(x)+x*f(x)=1这个等式进行了积分，只不过最后化成了y=f(x)的形式而已。
我也不知道对不对，可以参考一下