Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，设数列{bn}满足bn＝2（Sn＋1−Sn）Sn−n（Sn＋1＋

已知数列{an}的前n项和为Sn，设数列{bn}满足bn＝2（Sn＋1−Sn）Sn−n（Sn＋1＋Sn）（n∈N*）．

Answer 1

设等差数列{a[n]}的公差为d，则a[n+1]=a[1]+nd，S[n]=na[1]+(n（n-1）/2)d，

由b[n]＝2（S[n+1]−S[n]）S[n]−n（S[n+1]＋S[n]）（n∈(N^*)），得b[n]＝2a[n+1]S[n]−n（2S[n]＋a[n+1]）

又由b[n]＝0，得

2（a[1]+nd）[na[1]+(n（n-1）/2)d]−n[2na[1]+n（n-1）d＋a[1]+nd]=0对一切n∈(N^*)都成立

即对一切n∈(N^*)，

（dn+a[1]）[d(n^2)+（2a[1]-d）n]−n（d(n^2)+2a[1]n＋a[1]）=0

(d^2)(n^3)+（2a[1]d-(d^2)）(n^2)+a[1]d(n^2)+（2(a[1]^2)-a[1]d）n-d(n^3)-2a[1](n^2)-a[1]n=0

(（d^2)-d）(n^3)+（3a[1]d-(d^2)-2a[1]）(n^2)+（2(a[1]^2)-a[1]d-a[1]）n=0（两边同除以n）

(（d^2)-d）(n^2)+（3a[1]d-(d^2)-2a[1]）n+2(a[1]^2)-a[1]d-a[1]=0

从而(d^2)-d=0，3a[1]d-(d^2)-2a[1]=0，2(a[1]^2)-a[1]d-a[1]=0

解得d=0，a[1]=0

或d=1，a[1]=1

经检验符合题意。所以{a[n]}的通项公式为a[n]=0或a[n]=n