Question

高中不等式

a,b,c是正实数，求证a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1

Answer 1

这道题可以利用Cauchy-Schwarz不等式做
[a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)]*(3ab+3bc+3ac)
= [a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)]*[a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)]
≥(a+b+c)^2

a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b）≥(a+b+c)^2/(3ab+3bc+3ac)

因为 (a+b+c)^2 ≥ 3ab+3bc+3ac 所以
a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1,等号当且仅当 a=b=c时成立

如果你不熟悉Cauchy-Schwarz不等式， 通分化简也可以证，就是计算繁琐。

Answer 2

对式子a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)进行处理得
原式=a^2/(ab+2ac)+b^2/(2ab+bc)+c^2/(ac+2bc)
由柯西不等式，
原式≥[(a+b+c)^2]/3(ab+ac+bc)
而又有不等式
(a+b+c)^2≥3(ab+ac+bc)成立，故有
原式≥1
∴原不等式成立