Question

一道高中数学竞赛问题(关于不等式）

过P点（1，2）的直线m分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点，
求|AB|的最小值

（主要是计算中的问题）

Answer 1

设截距式：x/a+y/b=1（a>0,b>0)
于是1/a+2/b=1
由此，以及AM-GM不等式知：
|AB|^2=a^2+b^2=（a^2+b^2)(1/a+2/b)^2
=4（a/b)^2+(b/a)^2+4(a/b)+4(b/a)+5
=[4(a/b)^2+2(b/a)+2(b/a)]+[(b/a)^2+2(a/b)+2(a/b)]+5
>=3[4(a/b)^2*2(b/a)*2(b/a)]^(1/3)+3[(b/a)^2*2(a/b)*2(a/b)]^(1/3)+5
=6*2^(1/3)+3*4^(1/3)+5
当a/b=(1/2)^(1/3) 时取到等号。。。
即|AB|最小值[6*2^(1/3)+3*4^(1/3)+5]^(1/2)

Answer 2

设与x轴夹角为a
AB^2=(2ctana+1)^2+(2+tana)^2=5+4ctan^2a+tan^2a+4ctana+4tana>=5+2√4ctan^2atan^2a+2√4ctana4tana=17
AB最小为√17