Question

有关高数的一道题，麻烦解决一下

讨论
[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x) （x>0）
f(x)=
e^(-1/2) （x<=0）
在x=0出的连续性
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我想证明lim[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x)=e^(-1/2)
x—>0
结果不会证1^∞———不会配洛必达法则的形式

Answer 1

首先,有ln(1+x)的Taylor展开式ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
你想证的((1+x)^(1/x)/e)^(1/x) -> e^(-1/2)
等价于取对数:
ln( ((1+x)^(1/x)/e)^(1/x) ) -> -1/2
(1/x)( (1/x)ln(1+x) - 1 ) -> -1/2
(1/x)( 1 - x/2 + x^2/3 + ... -1 ) -> -1/2
(1/x)( -x/2 + x^2/3 + ... ) -> -1/2
-1/2 + x/3 + ... -> -1/2
而 ... 是o(x),高阶无穷小.

Answer 2

ls正解！！